Question

數(shù)列{a_n}中滿足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

．
（1）求出a₂，a₃，a₄．
（2）猜想通項公式a_n
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}中滿足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，求出a₂，a₃，a₄．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n；
（3）利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=

1

2-an

，
∴a2=

1

2-a

，a3=

2-a

3-2a

，a4=

3-2a

4-3a

；
（2）由（1）猜想通項公式an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

；
（3）①n=1時，成立，
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

，
則n=k+1時，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- (k-1)-(k-2)a k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
即n=k+1時，成立．
由①②可知an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

．

點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法．