Question

20．已知函數f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性與單調性；
（2）求f（x）的反函數；
（3）若${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，解關于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），從而f（-x）=-f（x），進而f（x）為奇函數；當a＞1時，f（x）單調遞增，當0＜a＜1時，f（x）單調遞減．
（2）由y=f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），求出x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，x，y互換，得到f（x）的反函數．
（3）由${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，求出a=2，由f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$單調遞增，得到f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$也單調遞增，由此能求出關于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），
∴f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），
∴f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}$=-f（x），
故f（x）為奇函數，
當a＞1時，f（x）單調遞增，當0＜a＜1時，f（x）單調遞減．（3分）
（2）∵y=f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，（-1＜x＜1），
∴$\frac{1+x}{1-x}$=a^y，整理，得：x=$\frac{{a}^{y}-1}{{a}^{y}+1}$，
x，y互換，得到f（x）的反函數${f^{-1}}（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（x∈R）$．（5分）
（3）∵${f^{-1}}（1）=\frac{1}{3}$，∴$\frac{a-1}{a+1}=\frac{1}{3}$，解得a=2，
∴f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$單調遞增，
故f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$也單調遞增，
∵f^-1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$$＜\frac{1}{3}$=$\frac{2-1}{2+1}$．
∴x＜1．
∴關于x的不等式${f^{-1}}（x）＜\frac{1}{3}$的解集為{x|x＜$\frac{1}{3}$}．（9分）

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查反函數的求法，考查不等式的解法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數函數的性質的合理運用．