給出以下三個(gè)命題,其中所有正確命題的序號(hào)為
①②
①②

①設(shè)
a
b
均為單位向量,若|
a
+
b
|>1,則θ∈[0,
3
)

②函數(shù)f (x)=xsinx+l,當(dāng)x1,x2∈[-
π
2
,
π
2
],且|x1|>|x2|時(shí),有f(x1)>f(x2),
③已知函數(shù)f (x)=|x2-2|,若f (a)=f (b),且0<a<b,則動(dòng)點(diǎn)P(a,b)到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1.
分析:①設(shè)
a
b
的夾角為θ,將已知等式平方,結(jié)合向量模的含義和單位向量長(zhǎng)度為1,化簡(jiǎn)整理可得
a
b
=-
1
2
,再結(jié)合向量數(shù)量積的定義和夾角的范圍,可得夾角θ的范圍.
②先判斷函數(shù)的奇偶性,易知是偶函數(shù),同時(shí)再證明單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
③由題意可得 a2-2=2-b2,從而即可求出a2+b2的值,利用直線與圓的位置關(guān)系可得動(dòng)點(diǎn)P(a,b)到直線4x+3y-15=0的距離的最小值,注意等號(hào)成立的條件.
解答:解:①設(shè)
a
b
的夾角為θ,
∵|
a
+
b
|>1,∴(
a
+
b
2=
a
2+2
a
b
+
b
2>1…(*)
∵向量
a
b
均為單位向量,可得|
a
|=|
b
|=1
∴代入(*)式,得1+2
a
b
+1=1>1,所以
a
b
>-
1
2

根據(jù)向量數(shù)量積的定義,得|
a
|•|
b
|cosθ>-
1
2

∴cosθ>-
1
2
,結(jié)合θ∈[0,π],得θ∈[0,
3
)
.①正確.
②由已知得f(x)是偶函數(shù),且在區(qū)間[0,
π
2
]上遞增,
由|x1|>|x2|得f(|x1|)>f(|x2|),即有f(x1)>f(x2),②正確;
③∵函數(shù)f(x)=|x2-2|,
若0<a<b,且f(a)=f(b),
∴b2-2=2-a2,0<a<
2

即 a2+b2=4,0<a<
2
,故動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在圓弧a2+b2=4(0<a<
2
)上,
動(dòng)點(diǎn)P(a,b)到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑:d-r=
15
5
-2
=1,此時(shí)點(diǎn)P不在圓弧上,故不正確.
故答案為:①②.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量的有關(guān)概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象及綜合應(yīng)用能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出以下三個(gè)命題:
①若ab≤0,則a≤0,b≤0或x2+2ax+b2=0;
②在ABC中,若sinA=sinB,則A=B;
③在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,則方程有實(shí)數(shù)根.
其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案