Question

設F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點． (1) 若橢圓C上的點A(1，)到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標 (2) 設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程 (3) 已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kpM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線－＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又點A(1，)在橢圓上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝1． 　　所以橢圓C的方程為＋＝1，焦點為F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)	設橢圓C上的動點為K(x1，y1)，線段F1K的中點Q(x，y)滿足x＝，y＝，即x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　因此＋＝1，即(x＋)2＋＝1為所求的軌跡方程．
(3)	類似的性質為：若M、N是雙曲線－＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值． 　　設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中－＝1． 　　又設點P的坐標為(x，y)，由kPM＝，kPN＝，得kPM·kPN＝·＝，將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝． 　　點評：本題主要考查橢圓的基本知識及求動點軌跡方程的常用方法．第(3)問對考生的聯(lián)想、類比、邏輯思維及運算能力都有較高的要求，根據提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數學命題的方向．應引起注意．