在面積為1的△PMN中,tan∠PMN=
12
,tan∠MNP=-2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求以M,N為焦點且過點P的橢圓方程.
精英家教網(wǎng)
分析:以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)以M,N為焦點且過點P的橢圓方程和焦點坐標(biāo),根據(jù)tanM=
1
2
,tanα=tg(π-∠MNP)=2,得直線PM和PN的直線方程,將此二方程聯(lián)立解得x和y,可知點P的坐標(biāo),根據(jù),|MN|=2c,MN上的高為點P的縱坐標(biāo),根據(jù)三角形面積公式表示出出△MNP的面積求得c,則點P的坐標(biāo)可得.由兩點間的距離公式求得|PM|和|PN|,進而根據(jù)橢圓的定義求得a,進而求得b,則橢圓方程可得.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,
設(shè)以M,N為焦點且過點P的橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,
焦點為M(-c,0),N(c,0).
由tan∠MNP=
1
2
,tan∠MNP=-2,tanα=tan(π-∠MNP)=2,
得直線PM和直線PN的方程分別為y=
1
2
(x+c)和y=2(x-c).
將此二方程聯(lián)立,解得x=
5
3
c,y=
4
3
c,即P點坐標(biāo)為(
5
3
c,
4
3
c).
在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高為點P的縱坐標(biāo),故S△MNP=
1
2
•2c•
4
3
c=
4
3
c2

由題設(shè)條件S△MNP=1,∴c=
3
2
,即P點坐標(biāo)為(
5
3
6
,  
2
3
3
)

由兩點間的距離公式|PM|=
(x+c)2+y2
=
(
5
3
6
+
3
2
)
2
+(
2
3
3
)
2
=
2
15
3
|PN|=
(x-c)2+y2
=
(
5
3
6
-
3
2
)
2
+(
2
3
3
)
2
=
15
3

a=
1
2
(|PM|+|PN|)=
15
2

又b2=a2-c2=
15
4
-
3
4
=3
,
故所求橢圓方程為
4x2
15
+
y2
3
=1
點評:本題主要考查坐標(biāo)系、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力.
練習(xí)冊系列答案
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