Question

下面的數(shù)組均由三個數(shù)組成，它們是：（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（a_n，b_n，c_n）．
（1）請寫出c_n的一個表達式，c_n=

2ⁿ+n

；
（2）若數(shù)列{c_n}的前n項和為M_n，則M₁₀=

2101

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：（1）分析每個數(shù)組的中間項，即b_n可得b_n=2ⁿ，再分析每一個數(shù)組中第三項與第二項的關系，可得c_n=b_n+n，又由b_n=2ⁿ，可得答案，
（2））由（1）可得c_n=2ⁿ+n，用分組求和法可得M₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10），結合等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式，計算可得答案．

解答：解：（1）分析每個數(shù)組的中間項，即b_n可得，
b₁=2，b₂=4，b₃=8，b₄=16，…，
易得b_n=2ⁿ，
第一個數(shù)組中有c₁=b₁+1，
第二個數(shù)組中有c₂=b₂+2，
第三個數(shù)組中有c₃=b₃+3，
…
以此類推，可得c_n=b_n+n，
又由b_n=2ⁿ，則c_n=2ⁿ+n，
（2）由（1）可得c_n=2ⁿ+n，
M₁₀=c₁+c₂+c₃+…+c₁₀=（2¹+2²+2³+…+2¹⁰）+（1+2+3+4+…+10）=

2(1-210)

1-2

+

10(1+10)

2

=2101，
故答案為（1）2ⁿ+n，（2）2101．

點評：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和，涉及歸納推理的運用，解題的關鍵是運用歸納推理，得到c_n的關系式．