如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時,切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;
(2)當(dāng)M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).
(1)2   (2) x2=y

解:(1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y′=,且切線MA的斜率為-,
所以A點坐標(biāo)為.
故切線MA的方程為y=-(x+1)+ .
因為點M(1-y0)在切線MA及拋物線C2上,于是
y0=-(2-)+=-,                   ①
y0=-=-.                       ②
由①②得p=2.
(2)設(shè)N(x,y),A,B,
x1≠x2,由N為線段AB中點知
x=,                                       ③
y=.                                       ④
切線MA,MB的方程為
y=(x-x1)+  ,                                 ⑤
y=(x-x2)+  .                                 ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標(biāo)為
x0=,y0=.
因為點M(x0,y0)在C2上,
=-4y0,
所以x1x2=-.                                ⑦
由③④⑦得
x2=y,x≠0.
當(dāng)x1=x2時,A,B重合于原點O,AB中點N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.
因此AB中點N的軌跡方程為x2=y.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

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(1)求曲線C的方程.
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A.2B.C.1D.

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