Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，△AOB和△COD為兩等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0），（a＞0），設△AOB和△COD的
外接圓圓心分別為點M、N．
（Ⅰ）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；
（Ⅱ）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程．

Answer 1

分析：先根據條件求圓的標準方程，再，利用直線與圓相切時，點線距離等于半徑長求解；（2）利用圓心N到直線l_AB距離及直線l_AB截⊙N的所得弦長為4，可求圓的標準方程．

解答：解（Ⅰ）圓心M（-1，1），∴圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，直線 l_CD方程為x+y-a=0
∵⊙M與直線l_CD相切，∴圓心 M到直線l_CD的距離d=

|-a|

2

=

2

，
∴|a|=2，又a＞0，a=2
∴直線l_CD的方程為x+y-2=0；
（Ⅱ）直線l_AB方程為：x-y+2=0，圓心N(

a

2

，

a

2

)，
∴圓心N到直線l_AB距離為

| a 2 - a 2 +2|

2

=

2

，
∵直線l_AB截⊙N的所得弦長為4
∴22+(

2

)2=

a2

2

，∴a²=12，又a＞0，a=2

3

∴⊙N的標準方程為(x-

3

)2+(y-

3

)2=6

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，解題時利用點線距離，半徑及弦長的一般構造的直角三角形是解題的關鍵