Question

6．已知函數(shù)f（tanα）=sin2α+cos2α，則函數(shù)f（x）的值域為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由三角恒等變換化簡f（x），然后轉(zhuǎn)化為關于x的方程．

解答 解：∵f（tanα）=sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos²α-sin²α
=$\frac{{2sinαcosα+{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{{{{cos}^2}α+{{sin}^2}α}}=\frac{{2tanα+1-{{tan}^2}α}}{{1+{{tan}^2}α}}$，
∴$f（x）=\frac{{2x+1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$，
∴（y+1）x²-2x+y-1=0，當$y+1=0，x=-\frac{1}{2}$，即y=-1成立；
當y+1≠0時，△=（-2）²-4（y+1）（y-1）≥0，可得$-\sqrt{2}≤y≤\sqrt{2}$，且y+1≠0，
綜上所述，可得函數(shù)的值域為$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查三角恒等變換以及換元，轉(zhuǎn)化思想．