Question

關于曲線C：x⁴+y²=1，給出下列四個命題：
①曲線C關于原點對稱；     
②曲線C關于直線y=x對稱
③曲線C圍成的面積大于π
④曲線C圍成的面積小于π
上述命題中，真命題的序號為（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①④
• D、①③

Answer 1

考點：曲線與方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：將方程中的x換為-x，y換為-y，方程不變，判斷出①對；通過將方程中的x，y互換方程改變，判斷出②錯；由方程上的點的坐標有界判斷出③對，④錯．

解答： 解：對于①，將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變，所以曲線C關于x軸、y軸、原點對稱，故①對
對于②，將方程中的x換為y，y換為x方程變?yōu)閥⁴+x²=1與原方程不同，故②錯
對于③，在曲線C上任取一點M（x₀，y₀），x₀⁴+y₀²=1，∵|x₀|≤1，∴x₀⁴≤x₀²，∴x₀²+y₀²≥x₀⁴+y₀²=1，即點M在圓x²+y²=1外，故③對，④錯．
故選：D．

點評：本題考查點（x，y）關于x軸的對稱點為（x，-y）；關于y軸的對稱點為（-x，y）；關于原點的對稱點（-x，-y）；關于y=x的對稱點為（y，x）．