Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求p，m的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
（2）若且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m=0，直線AB的方程為
x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，-）．
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即．
此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上．（6分）
（2）解法一　當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=．
因?yàn)锳B既是過(guò)C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)的弦，
所以，且．
從而．
所以，即．解得．…（12分）
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，所以．即．
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為．…（15分）
解法二　當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程
為y=k（x-1）．
由消去y得．…①
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，
所以，即．
代入①有．即．…②
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程②的兩根，
x₁+x₂=．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…③
由于x₁，x₂也是方程③的兩根，所以x₁+x₂=．
從而=．解得．…．（12分）
因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，
所以．
即．
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為．…．（15分）
解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因?yàn)锳B既過(guò)C₁的右焦點(diǎn)F（1，0），又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)，
所以．
即．…①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，
于是直線AB的斜率，…②
且直線AB的方程是y=-3m（x-1），
所以．…③
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/528516.png' />，
所以．…④
將①、②、③代入④得，
即．…．（12分）
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；
當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為．…．（15分）
分析：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，由此能夠判斷出C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)不在直線AB上．
（2）解法一：當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）．由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁+x₂=．由AB既是過(guò)C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)的弦，所以．由此入手能夠求出直線AB的方程．
解法二：當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，設(shè)直線AB的方程y=k（x-1）．由得．因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，所以．．由此入手能夠求出直線AB的方程．
解法三：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），因?yàn)锳B既過(guò)C₁的右焦點(diǎn)F（1，0），又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)，所以．由此入手能夠求出直線AB的方程．
點(diǎn)評(píng)：本昰考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．