Question

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AE，BE分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，記，的面積分別為．

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；

（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，4；（3）5.

【解析】

（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得焦參數(shù)后可得拋物線方程；

（2）由于直線AB的斜率不可能為0，故可設(shè)，代入拋物線方程整理后得一元二次方程，設(shè)，，則，．由計(jì)算和，并計(jì)算可得定值；

（3）在（2）基礎(chǔ)上，由點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得坐標(biāo)，得（仍然代入），這樣可用表示，換元設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性可得最小值．

解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴，

∴拋物線方程為；

（2）由已知可得，，

由于直線AB的斜率不可能為0，故可設(shè)，

聯(lián)立，消去x并整理得：，

設(shè)，，則，．

所以，，

而，

所以（定值）；

（3）直線，可得，同理，

∴，

即，

∴，

令則，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，此時(shí)．

故的最小值是5，此時(shí)直線軸．