12.在數(shù)列{an}中,a1=2.a(chǎn)2=1,$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為an=$\frac{2}{n}$.

分析 由已知遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常數(shù)列$\frac{1}{2}$,進一步得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項,以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列,由此求得數(shù)列{an}的通項公式.

解答 解:由$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),
又a1=2,a2=1,得$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常數(shù)列$\frac{1}{2}$,
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$,
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項,以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列,
則$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{n}{2}$,
∴an=$\frac{2}{n}$.
故答案為:$\frac{2}{n}$.

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關系的確定,訓練了等差數(shù)列通項公式的求法,是中檔題.

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