Question

（2012•東城區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，an+1=

an 2 ， an為偶數(shù) an+1 2 ， an為奇數(shù)

，若{a_n}中有且只有5個(gè)不同的數(shù)字，則m的不同取值共有

8

個(gè)．

Answer 1

分析：m=1時(shí)，{a_n}中只有1個(gè)不同的數(shù)字，各項(xiàng)為1；m=2時(shí)，{a_n}中只有2個(gè)不同的數(shù)字；m=3，或m=4 時(shí)，{a_n}中只有3個(gè)不同的數(shù)字；m=5或m=6，或m=7，m=8時(shí)，{a_n}中只有4個(gè)不同的數(shù)字，當(dāng)m=9到16時(shí)，{a_n}中有且只有5個(gè)不同的數(shù)字；當(dāng)n≥17時(shí)，{a_n}中有6個(gè)或6個(gè)以上不同的數(shù)字．

解答：解：當(dāng)m=1時(shí)，a₁=1，
a2=

1+1

2

=1，
…
a_n=1，則{a_n}中只有1個(gè)不同的數(shù)字1，不成立，故m≠1；
當(dāng)m=2時(shí)，a₁=2，
a2=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥2），則{a_n}中只有2個(gè)不同的數(shù)字2和1，不成立，故m≠2；
當(dāng)m=3時(shí)，a₁=3，
a₂=

3+1

2

=2，
a3=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥3），則{a_n}中只有3個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，不成立，故m≠3；
當(dāng)m=4時(shí)，a₁=4，
a₂=

4

2

=2，
a3=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥3），則{a_n}中只有3個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，不成立，故m≠4；
當(dāng)m=5時(shí)，a₁=5，
a₂=

5+1

2

=3，
a3=

3+1

2

=2，
a4=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥4），則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，不成立，故m≠5；
當(dāng)m=6時(shí)，a₁=6，
a₂=

6

2

=3，
a3=

3+1

2

=2，
a4=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥4），則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，不成立，故m≠6；
當(dāng)m=7時(shí)，a₁=7，
a₂=

7+1

2

=4，
a₃=

4

2

=2，
a4=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥4），則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，不成立，故m≠7；
當(dāng)m=8時(shí)，a₁=8，
a₂=

8

2

=4，
a₃=

4

2

=2，
a4=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥4），則{a_n}中有4個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，不成立，故m≠8；
當(dāng)m=9時(shí)，a₁=9，
a₂=

9+1

2

=5，
a₃=

5+1

2

=3，
a₄=

3+1

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，9，成立，故m=9；
當(dāng)m=10時(shí)，a₁=10，
a₂=

10

2

=5，
a₃=

5+1

2

=3，
a₄=

3+1

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，10，成立，故m=10；
當(dāng)m=11時(shí)，a₁=11，
a₂=

11+1

2

=6，
a₃=

6

2

=3，
a₄=

3+1

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，11，成立，故m=11；
當(dāng)m=12時(shí)，a₁=12，
a₂=

12

2

=6，
a₃=

6

2

=3，
a₄=

3+1

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，6，12，成立，故m=12；
當(dāng)m=13時(shí)，a₁=13，
a₂=

13+1

2

=7，
a₃=

7+1

2

=4，
a₄=

4

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，13，成立，故m=13；
當(dāng)m=14時(shí)，a₁=14，
a₂=

14

2

=7，
a₃=

7+1

2

=4，
a₄=

4

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，7，14，成立，故m=14；
當(dāng)m=15時(shí)，a₁=15，
a₂=

15+1

2

=8，
a₃=

8

2

=4，
a₄=

4

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，15，成立，故m=15；
當(dāng)m=16時(shí)，a₁=16，
a₂=

16

2

=8，
a₃=

8

2

=4，
a₄=

4

2

=2，
a₅=

2

2

=1，
…
a_n=1（n≥5），則{a_n}中有5個(gè)不同的數(shù)字1，2，4，8，16，成立，故m=16；
當(dāng)m=17時(shí)，a₁=17，
a₂=

17+1

2

=9，
a₃=

9+1

2

=5，
a₄=

5+1

2

=3，
a₅=

3+1

2

=2，
a6=

2

2

=1
…
a_n=1（n≥6），則{a_n}中有6個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；
當(dāng)n≥17時(shí)，{a_n}中有6個(gè)或6個(gè)以上不同的數(shù)字．
∴m的不同取值共有8個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意列舉法的合理運(yùn)用．計(jì)算過(guò)程較繁瑣，要細(xì)心求解，注意不要遺漏．