3．在正四面體A-BCD中，有下列四個命題，其中真命題的個數(shù)為（　　）
①每組對棱異面垂直；
②連接每組對棱的中點，則這三線交于一點；
③在棱CD上至少存在一個點E，使∠AEB=$\frac{π}{2}$；
④正四面體的外接球的半徑是其棱長的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．
A．1B．2C．3D．4

分析 利用正四面體的特征，作圖即可得到答案

解答 解：①正四面體A-BCD的高線中心正好在底面正三角形的三線合一“三等分”上，形成直角三角形，根據(jù)“三垂線定理”，每組對棱異面垂直；正確
②底面是正三角形，連接每組對棱的中點，剛好三線交于一點；正確
③只有到高線投影落在CD上時，才存在一個點E，使得∠AEB=$\frac{π}{2}$；而正四面體A-BCD的高線中心正好在底面正三角形的三線合一上，不可能在CD，不成立
④正四面體的外接球的半徑是其棱長的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．正四面體球心在高線上，利用球心到各頂點的距離相等構(gòu)造勾股定理即可找到關(guān)系．正確
所以：①②④正確
故答案為：C

點評 本題考查了正四面體特征和外接球的證明，由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的．難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

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