Question

（2013•閔行區(qū)二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，判斷f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若f(2x)=

5

4

，求x的值；
（3）若b＜0，且對(duì)任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）即可判斷當(dāng)a=1，b=0時(shí)，f（x）=x|x-1|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）依題意，解方程2^x|2^x-1|+1=

5

4

即可，為了去掉方程中的絕對(duì)值符號(hào)需對(duì)x的取值范圍分類(lèi)討論；
（3）依題意，只需考慮x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)閨x-a|＜

-b

x

即可，轉(zhuǎn)化為故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+

b

x

與h（x）=x-

b

x

，利用函數(shù)的單調(diào)性
結(jié)合對(duì)參數(shù)b的范圍的討論即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：[解]（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，f（x）=x|x-1|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．…（2分）
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．…（2分）
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f（x）=x|x-1|+1，
由f（2^x）=

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4

得2^x|2^x-1|+1=

5

4

…（2分）
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

…（2分）
解得2^x=

1+ 2

2

或2^x=

1- 2

2

（舍），或2^x=

1

2

，
所以x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1．     …（2分）
（3）當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考慮x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)閨x-a|＜

-b

x

即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

…（2分）
故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]
又函數(shù)g（x）=x+

b

x

在（0，1]上單調(diào)遞增，所以(x+

b

x

)max=g（1）=1+b；
對(duì)于函數(shù)h（x）=x-

b

x

，x∈（0，1]
①當(dāng)b＜-1時(shí)，在（0，1]上h（x）單調(diào)遞減，(x-

b

x

)min=h（1）=1-b，又1-b＞1+b，
所以，此時(shí)a的取值范圍是（1+b，1-b）． …（2分）
②當(dāng)-1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
當(dāng)x=

-b

時(shí)，(x-

b

x

)min=2

-b

，此時(shí)要使a存在，
必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

即-1≤b＜2

2

-3，此時(shí)a的取值范圍是（1+b，2

-b

）
綜上，當(dāng)b＜-1時(shí)，a的取值范圍是（1+b，1-b）；
當(dāng)-1≤b＜2

2

-3時(shí)，a的取值范圍是（1+b，2

-b

）；
當(dāng)2

2

-3≤b＜0時(shí)，a的取值范圍是∅．     …（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，著重考查方程思想與分類(lèi)討論思想的綜合運(yùn)用，考查構(gòu)造函數(shù)與抽象思維及運(yùn)算能力，屬于難題．