Question

已知函數(shù)f（x）=a∫

x+1 1

1

t

dt+（x+1）²（x＞-1）
（1）若f（x）在x=1處有極值，試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對(duì)任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（e=2.71828…）
（2）若a=1，設(shè)F（x）=f（x）-（x+1）²-x
①求證：當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＜0；
②設(shè)a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

（n∈N^*），求證：a_n＞ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x），由f′（1）=0可求a，注意檢驗(yàn)，不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對(duì)任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，等價(jià)于m²+tm+e²-14≤f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)易求f（x）_min，再購置關(guān)于t的一次函數(shù)，由一次函數(shù)的性質(zhì)可得不等式組，解出即可；
（2）①表示出F（x），利用導(dǎo)數(shù)可證；②由①得ln（1+x）＜x（x＞0），令x=

1

k+1

，代入可得不等式，分別令k=n，n+1，…2n，累加可得；

解答： 解：（1）f（x）=a∫

x+1 1

1

t

dt+（x+1）²=aln（x+1）+（x+1）²，
∴f′（x）=

a

x+1

+2（x+1）．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，解得a=-8．
經(jīng)檢驗(yàn)a=-8時(shí)，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=-8．
∵1＜e-1，f′（x）=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
∴f′（x）＞0，
當(dāng)x∈[e-1，e]時(shí)，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²，
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）對(duì)任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0對(duì)t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-6，
則有

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

m2-m-6≤0 m2+m-6≤0

，解得-2≤m≤2．
（2）①∵F（x）=f（x）-（x-1）²-x=ln（1+x）-x，
∴F′（x）=

-x

1+x

＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴F（x）＜F（0）=0，；
②由①得ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln（1+

1

1+k

）＜

1

1+k

，即

1

k+1

＞ln(

k+2

k+1

)，
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln2，
∴a_n＞ln2．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查函數(shù)恒成立，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力．