Question

8．設矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$，求矩陣A的逆矩陣的特征值及對應的特征向量．

Answer 1

分析 由矩陣A，求得丨A丨及A*，A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*，求得A^-1，由特征多項式f（λ）=0，求得矩陣的特征值，代入求得特征向量．

解答 解：丨A丨=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}|$=1-4=-3，A*=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{array}]$，
A的逆矩陣為A^-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$，
則特征多項式為f（λ）=（λ+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{4}{9}$=λ²+$\frac{2}{3}$λ-$\frac{1}{3}$，
令f（λ）=0，解得：λ₁=-1，λ₂=$\frac{1}{3}$，
設特征向量為$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
可知特征值λ₁=-1，對應的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
同理可得特征值λ₂=$\frac{1}{3}$，對應的一個特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．…（10分）

點評 本題考查求矩陣特征值及特征向量，考查逆矩陣的求法，考查計算能力，屬于中檔題．