Question

P為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁對角線BD₁上的一點(diǎn)，且BP=λBD₁（λ∈（0，1）．下面結(jié)論：
①AD₁⊥C₁P；
②若BD₁⊥平面PAC，則λ=

1

3

；
③若△PAC為鈍角三角形，則λ∈（0，

1

2

）；
④若λ∈（

2

3

，1），則△PAC為銳角三角形．
其中正確的結(jié)論為

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線間的夾角、距離,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：畫出圖形，直接判斷①AD₁⊥C₁P的正誤；
利用正方體的特征，判斷②若BD₁⊥平面PAC，則λ=

1

3

，的正誤；
通過λ=

1

2

，判斷△PAC是否為鈍角三角形，判斷λ∈（0，

1

2

）的正誤；
通過建立空間直角坐標(biāo)系，判斷④若λ∈（

2

3

，1），則△PAC為銳角三角形，判斷④的正誤．

解答： 解：如圖①中，AD₁與C₁P是共面直線，是相交直線，∴①不正確；
對于②若BD₁⊥平面PAC，幾何體是正方體，∴P在平面AB₁C中，則λ=

1

3

；②正確；
對于③，當(dāng)P為BD₁的中點(diǎn)時(shí)，若△PAC為鈍角三角形，PA=PC=

3

2

a，AC=

2

a，此時(shí)∠APC=120°，∴則λ∈（0，

1

2

）不正確；
對于④，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長|AB|=3，
則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A₁（3，0，3），B₁（3，3，3），C₁（0，3，3），D₁（0，0，3），
∴

BD1

=（-3，-3，3），設(shè)P（x，y，z），∵

BP

=

2 3 BD1

=（-2，-2，2），∴

DP

=

DB

+（-2，-2，2）=（1，1，2）．

AP

=

AD

+

DP

=（-2，1，2），

CP

=（1，-2，2）∴cos∠APC=

AP • CP

| AP || CP |

=0，∠APC=90°．
若λ∈（

2

3

，1），則△PAC為銳角三角形．正確，
故答案為：②④

點(diǎn)評：本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，夾角與距離的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．