Question

【題目】己知函數(shù)

（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng),單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增, 當(dāng)，取得極小值;(2) ;(3) 的最大值,的最小值.

【解析】

(1)把代入可得，對求導(dǎo)可得其單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）對求導(dǎo)可得在恒成立，設(shè)，對求導(dǎo)，可得有最小值，可得的取值范圍；

（3）對求導(dǎo)，可得當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，可得可得的最大值，設(shè)，對求導(dǎo)，可得的最小值.

解：（1）當(dāng)時，，可得，

令，可得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)，單調(diào)遞增；

可得當(dāng)，取得極小值；

（2），，

即，在恒成立，

設(shè)，可得，

令，可得，

當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)有最小值，可得，

，；

（3）由，可得，

當(dāng)，可得，

所以，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

所以，單調(diào)遞減；

可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又，可得的最大值

設(shè)

其中，可得，

故在單調(diào)遞增，可得，即，

故可得的最小值.