Question

若直線mx+ny=4和⊙O：x²+y²=4沒有交點，則過點（m，n）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的交點個數(shù)為（　　）

A．0個

B．1個

C．至多1個

D．2個

Answer 1

分析：先根據(jù)題意可知圓心（0，0）到直線mx+ny-4=0的距離大于 2求得m和n的范圍，可推斷點P（m，n）是以原點為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓內(nèi)切于橢圓，進而可知點P是橢圓內(nèi)的點，進而判斷可得答案．

解答：解：由題意可得，

4

m2+n2

＞2
∴m²+n^2_＜4
所以點P（m，n）是在以原點為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點．
∵橢圓的長半軸 3，短半軸為 2
∴圓m²+n²=4內(nèi)切于橢圓
∴點P是橢圓內(nèi)的點
∴過點P（m，n）的一條直線與橢圓相交，它們的公共點數(shù)為2．
故選D．

點評：此題要求學生掌握直線與圓的位置關系，會用點到直線的距離公式化簡求值，以及掌握橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．