Question

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-(y+1-lnx)

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

(O∉l且a＞0)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．(n≥2且n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由已知，利用A，B，C三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)即可求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，可得f′(x)=

1

x

-

1

ax2

≥0對(duì)x∈[1，+∞)恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）先證明lnx＜1-

1

x

，再用

n

n-1

代換x，利用疊加法，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：由已知得：

OA

=(y+1-lnx)

OB

+

x-1

ax

OC

．
又∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴y+1-lnx+

x-1

ax

=1⇒y=lnx+

1-x

ax

∴f(x)=lnx+

1-x

ax

(x＞0)；
（2）解：∵f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴f′(x)=

1

x

-

1

ax2

≥0對(duì)x∈[1，+∞)恒成立⇒

1

ax2

≤

1

x

即a≥

1

x

對(duì)x∈[1，+∞)恒成立⇒a≥(

1

x

)max=1
∴a∈[1，+∞）；
（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+

1

x

-1．
由(2)知，當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)f(x)=lnx+

1

x

-1≥f(1)=0⇒lnx＞1-

1

x

(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，
用

n

n-1

換x得：ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+ln

5

4

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，
即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

⇒lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三點(diǎn)共線，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．