Question

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC=PA，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：EF⊥平面PAC；
（3）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）直接利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面ABC；
（2）通過證明BC⊥平面PAC，EF∥BC，即可證明EF⊥平面PAC；
（3）判斷PA⊥平面ABC，求出底面面積以及高，即可求三棱錐B-PAC的體積．

解答： 證明：（1）在△PBC中，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點，所以EF∥BC．
又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．

（2）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．
因為AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC．
又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．
由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．

（3）解：在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以AC=BC=

2

．
所以PA=

2

．
因為PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC．
所以S△PAC=

1

2

PA•AC=1．
由（2）知BC⊥平面PAC，所以VB-PAC=

1

3

S△PAC•BC=

2

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直直線與平面平行的判定定理，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．