Question

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形．
（I）求證點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（II）求當(dāng)A′E⊥BD時(shí)△A′DE所轉(zhuǎn)過(guò)的角的大小．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的判定定理可知DE⊥平面A'GA，而DE∥A'H從而得到A'H⊥平面ABC，最終說(shuō)明了點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（II）易知點(diǎn)H為正△ADE的中心，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角，在三角形而A'GA中求出此角，而二面角A'-DE-A的大小即為當(dāng)AE⊥BD時(shí)，△A'DE所旋轉(zhuǎn)過(guò)的角的大�。�

解答：解：（I）在平面A’FA內(nèi)過(guò)點(diǎn)A’作A’H⊥AF，垂足為H
因?yàn)镈E⊥AF，DE⊥A'G?DE⊥平面A'GA（4分）
所以DE∥A'H?A'H⊥平面ABC（6分）
即點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上（7分）
（II）由（I）知A'H⊥平面ABC，
又A′E⊥BD，所以EH⊥BD（9分）
則點(diǎn)H為正△ADE的中心，所以HG=

1

3

AG=

1

3

A'G
因?yàn)镈E⊥AF，DE⊥A'G?∠A'GA是二面角A'-DE-A的平面角．（11分）
而cos∠A′GA=

HG

A′G

=

1

3

，
所以二面角A'-DE-A的大小為arccos

1

3

（13分）
二面角A'-DE-A的大小即為當(dāng)AE⊥BD時(shí)，△A'DE所旋轉(zhuǎn)過(guò)的角的大�。�
故所求角等于arccos

1

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力．