Question

對?x，y∈R，函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，f（1）=a（a為大于0的常數），已知a_n=f（n）（n∈N^*），則下列結論一定正確的是（　�。�

• A、數列{lga_n}為等差數列
• B、數列{lga_n}為等比數列
• C、數列{e an}為等差數列
• D、數列{e an}為等比數列

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,抽象函數及其應用,等差關系的確定,等比關系的確定

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：根據抽象函數，令y=1，則f（x+1）=f（x）+1+a，結合等差數列的定義，構造等差數列，結合等比數列的定義進行判斷．

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，f（1）=a（a為大于0的常數），
∴令y=1，則f（x+1）=f（x）+f（1）+1=f（x）+1+a，
∵a_n=f（n）（n∈N^*），
∴f（n+1）=f（n）+1+a，
即a_n+1-a_n=1+a，
即數列{a_n}為等差數列，首項為a，公差d=1+a，
則a_n=a+（n-1）（1+a）=（1+a）n-1，
則

ean

ean-1

=ean-an-1=e^1+a為常數，
則數列{e an}為等比數列，
故選：D

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的判斷和應用，利用抽象函數構造等差數列是解決本題的關鍵．