Question

為了研究“教學(xué)方式”對教學(xué)質(zhì)量的影響，某高中數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進(jìn)行教學(xué)（勤奮程度和自覺性都一樣）．如圖所示莖葉圖為甲、乙兩班（每班均為20人）學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績．
（1）現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求成績?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率；
（2）學(xué)校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?×2表，并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”．

	甲班	乙班	合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（x2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.79	10.828

（參考公式：x²=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n+1n+2

）

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）先求得甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)人數(shù)及成績?yōu)?7分的同學(xué)人數(shù)，利用排列組合求得基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式計算；
（2）根據(jù)莖葉圖分別求出甲、乙班優(yōu)秀的人數(shù)與不優(yōu)秀的人數(shù)，列出列聯(lián)表，利用相關(guān)指數(shù)公式計算K²的觀測值，比較與臨界值的大小，判斷成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度．

解答： 解：（1）甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)有5名，其中成績?yōu)?7分的同學(xué)有2名，
從5名同學(xué)中抽取2名，共有

C

2 5

=10種方法，
其中至少有一名同學(xué)87分的抽法有

C

2 2

+

C

1 2

×C

1 3

=7種，
∴所求概率P=

7

10

；
（2）2×2列聯(lián)表為：

	甲班	乙班	合計
優(yōu)秀	6	14	20
不優(yōu)秀	14	6	20
合計	20	20	40

∴K²=

40×(6×6-14×14)2

20×20×20×20

=6.4＞5.024，
有97.5%以上的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．

點(diǎn)評：本題考查了由莖葉圖求分類變量的列聯(lián)表，及根據(jù)列聯(lián)表計算相關(guān)指數(shù)K²的觀測值，考查了古典概型的概率計算，綜合性強(qiáng)，計算要細(xì)心，
由公式計算相關(guān)指數(shù)K²的觀測值并由觀測值判斷成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)的可靠性程度是解題的關(guān)鍵．