Question

1．已知e為自然對數的底數，若對任意的x∈[0，1]，總存在唯一的y∈[-1，1]，使得2x+y²e^y-a=0成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1+$\frac{1}{e}$，e]
• B． [1+$\frac{1}{e}$，e]
• C． （1，e]
• D． （2+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 由2x+y²e^y-a=0成立，解得y²e^y=a-2x，根據題意可得：a-2≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，解出并且驗證等號是否成立即可得出．

解答 解：由2x+y²e^y-a=0成立，解得y²e^y=a-2x，
∴對任意的x∈[0，1]，總存在唯一的y∈[-1，1]，使得2x+y²e^y-a=0成立，
∴a-2≥（-1）²e^-1，且a-0≤1²×e¹，
解得2+$\frac{1}{e}$≤a≤e，其中a=2+$\frac{1}{e}$時，y存在兩個不同的實數，因此舍去，a的取值范圍是（2+$\frac{1}{e}$，e]．
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．