Question

過(guò)M（2，1）的直線(xiàn)l分別交x軸正方向及直線(xiàn)y=3x（位于第一象限部分）于A、B，求使S_△AOB最小的直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程為：y-1=k（x-2），求出直線(xiàn)在x軸上的截距，和直線(xiàn)y=3x聯(lián)立求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由面積公式得到三角形的面積，利用判別式法求出三角形面積的最小值，進(jìn)一步求出直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)方程可求．

解答： 解：由題意得直線(xiàn)l的方程為：y-1=k（x-2），
取y=0，得|OA|=|

2k-1

k

|，
聯(lián)立

y=3x y-1=k(x-2)

，解得yB=

3-6k

3-k

，
∴S_△AOB=

1

2

|OA||yB|=

1

2

|

2k-1

k

||

3-6k

3-k

|
=|

-12k2+12k-3

-2k2+6k

|．
令t=

-12k2+12k-3

-2k2+6k

，
則（12-2t）k²+（6t-12）k+3=0，
由△=（6t-12）²-12（12-2t）≥0，得
解得t≤0或t≥

10

3

．
∴S_△AOB最小值為

10

3

．
此時(shí)k=-

3

4

．
∴l(xiāng)：3x+4y-10=0；
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為x=2，代入y=3x得交點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，
此時(shí)S_△AOB=

1

2

×2×6=6＞

10

3

，不合題意．
故使S_△AOB最小的直線(xiàn)l的方程為3x+4y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的一般式方程，考查了利用判別式法求函數(shù)的最值，是中檔題．