是否存在常數(shù)a,b,使等式
12
1×3
+
22
3×5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
an2+n
bn+2
對于一切n∈N*都成立?若不存在,說明理由;若存在,請用數(shù)學歸納法證明?
分析:假設存在常數(shù)a,b,使等式對于一切n∈N*都成立.取n=1,2可得
1
3
=
a+1
b+2
1
3
+
4
15
=
4a+2
2b+2
,解得a,b.再利用數(shù)學歸納法證明即可.
解答:解:若存在常數(shù)a,b,使等式對于一切n∈N*都成立.
取n=1,2可得
1
3
=
a+1
b+2
1
3
+
4
15
=
4a+2
2b+2
,解得a=1,b=4.
12
1×3
+
22
3×5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
n2+n
4n+2
對于一切n∈N*都成立.
下面用數(shù)學歸納法證明:
(1)當n=1時,顯然成立.
(2)假設當n=k(k∈N*)時,等式成立,即
12
1×3
+
22
3×5
+
…+
k2
(2k-1)(2k+1)
=
k2+k
4k+2

則當n=k+1時,
12
1×3
+
22
3×5
+
…+
k2
(2k-1)(2k+1)
+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)

=
k2+k
4k+2
+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)

=(k+1)•
k(2k+3)+2(k+1)
2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)•
(2k+1)(k+2)
2(2k+1)(2k+3)

=
(k+1)(k+2)
2(2k+3)

=
(k+1)2+(k+1)
4(k+1)+2

也就是說當n=k+1時,等式也成立.
綜上所述:可知等式對于一切n∈N*都成立.
點評:熟練掌握數(shù)學歸納法和待定系數(shù)法是解題的關鍵.
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3
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]

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