Question

15．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與相鄰兩邊所成的角分別為α、β，則有sin²α+sin²β=1，類比到空間中的一個(gè)正確命題是：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線AC₁與相鄰三個(gè)面所成的角分別為α、β、γ，則sin²α+sin²β+sin²γ=1．

Answer 1

分析 由在長(zhǎng)方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有sin²α+sin²β=1，我們根據(jù)平面性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，我們易得答案．

解答 解：有如下命題：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線A₁C與平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分別為α、β、γ，則 sin²α+sin²β+sin²γ=1．
證明：如圖，對(duì)角線A₁C與平面A₁B所成的角為∠CA₁B=α，
在直角三角形CA₁B中，sin²α=$\frac{B{C}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$，
同理：sin²β=$\frac{C{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$，sin²γ=$\frac{C{D}^{2}}{{C}_{1}{C}^{2}}$
∴sin²α+sin²β+sin²γ=$\frac{B{C}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{C{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{C{D}^{2}}{{C}_{1}{C}^{2}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理，在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)，或是將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．