Question

已知函數(shù)f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)+sinx•(cosx-

3

sinx)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若f(C)=1，c=

2

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換公式，化簡得f（x）=2sin(2x+

π

3

)．再由三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間的公式解不等式，可得f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由函數(shù)f（x）的表達(dá)式，解出C=

π

4

．利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，結(jié)合基本不等式解出ab≤2+

2

．由此利用三角形的面積公式，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2+ 2

時△ABC的面積有最大值，并可求出這個最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)+sinx•(cosx-

3

sinx)
=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)+sinx•cosx-

3

sin2x
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z）
即單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈Z)；（6分）
（2）由f(C)=2sin(2C+

π

3

)=1，解得sin(2C+

π

3

)=

1

2

∵C是△ABC的內(nèi)角，∴2C+

π

3

=

5π

6

，得C=

π

4

由余弦定理，得2=a2+b2-2ab•

2

2

≥2ab-

2

ab
∴ab≤

2

2- 2

=2+

2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2+ 2

時取等號）
因此，△ABC面積的最大值為S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×(2+

2

)×

2

2

=

2 +1

2

．  （12分）

點評：本題給出三角函數(shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間，并依此求三角形面積的最值．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正余弦定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．