Question

19．已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，若S_n=2a_n-2ⁿ，則S_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 由已知求出a₁=2，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，從而得到a_n=（n+1）•2^n-1，由此利用錯位相減法能求出結果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，${S_n}=2{a_n}-{2^n}$，
∴n=1時，S₁=a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（$2{a}_{n}-{2}^{n}$）-（2a_n-1-2^n-1），
整理，得：${a}_{n}-{2}^{n}$=2a_n-1-2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-1=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n+1）•2^n-1，
∴S_n=2×2⁰+3×2+4×2²+…+（n+1）•2^n-1，①
∴2S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ
=2-2+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ
=-n•2ⁿ．
∴${S_n}=n•{2^n}$．
故答案為：n•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．