Question

【題目】設F1、F2分別為橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，若橢圓上一點M（1， ）到兩個焦點的距離之和等于4．又已知點A是橢圓的右頂點，直線l交橢圓Γ于E、F兩點（E、F與A點不重合），且滿足AE⊥AF． （Ⅰ） 求橢圓的標準方程；
（Ⅱ） O為坐標原點，若點P滿足2 ，求直線AP的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，可得2a=4，即a=2，又點 在橢圓上， 將點M（1， ）代入橢圓方程可知 ，
解得：b2=3，
∴橢圓Γ的標準方程為 ；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知A（2，0），設直線AE的方程為y=k（x﹣2），
，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由韋達定理可知：2+xE= ，可得xE= ，
yE=k（xE﹣2）= ，
由于AE⊥AF，只要將上式的k換為﹣ ，
可得xF= ，yF= ，
由2 ，可得P為EF的中點，
即有P（ ， ），
則直線AP的斜率為t= = ，
當k=0時，t=0；
當k≠0時，t= ，
再令s= ，可得t= ，
當s=0時，t=0；當s＞0時，t= ≤ = ，
當且僅當4s= 時，取得最大值；
當s＜0時，t= ≥﹣ ，
綜上可得：直線AP的斜率的取值范圍是[﹣ ， ]
【解析】（Ⅰ）由題意可得a=2，c=1，由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）設直線AE的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，運用韋達定理，可得E的坐標，由兩直線垂直可得F的坐標，再由直線的斜率公式，結合基本不等式即可得到斜率的最值，進而得到所求范圍．