Question

已知拋物線C：y²=x與直線l：y=kx+

3

4

，試問C上能否存在關于直線l對稱的兩點？若存在，求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設A（a²，a），B（b²，b），設AB的斜率為k′，k′=-

1

k

，由已知條件推導出b=-k-a，設M（m，n），由已知條件推導出m=

k2-2ab

2

，n=

a+b

2

=-

k

2

，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：設兩點存在，分別為A（a²，a），B（b²，b），設AB的斜率為k′，k′=-

1

k

，
∴k′=

a-b

a2-b2

=

1

a+b

=-

1

k

，
∴a+b=-k，b=-k-a，
設M（m，n），則m=

a2+b2

2

=

(a+b)2-2ab

2

=

k2-2ab

2

，
n=

a+b

2

=-

k

2

，
-

k

2

=k•

k2-2ab

2

+

3

4

，-2k=2k³-4ka（-k-a）+3，
4ka²+4k²a+2k³+2k+3=0，
△=（4k²）²-4•4k（2k³+2k+3）=-16k（k+1）（k²-k+3）＞0，
∵k²-k+3=（k-

1

2

）²+

11

4

＞0，
∴-k（k+1）＞0，解得-1＜k＜0
∴實數(shù)k的取值范圍是（-1，0）．

點評：本題考查滿足條件的直線是否存在的判斷，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．