Processing math: 72%
7.給定橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”. 已知點A(2,1)是橢圓G:x2+4y2=m上的點.
(1)若過點P010的直線l與橢圓G有且只有一個公共點,求l被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長;
(2)橢圓G上的B,C兩點滿足4k1•k2=-1(其中k1,k2是直線AB,AC的斜率),求證:B,C,O三點共線.

分析 (1)將A代入橢圓方程,可得m,進而得到橢圓方程和伴橢圓方程,討論直線l的斜率不存在和存在,設(shè)出l的方程,代入橢圓方程運用判別式為0,求得k,再由直線和圓相交的弦長公式,計算即可得到所求弦長;
(2)設(shè)直線AB,AC的方程分別為y-1=k1(x-2),y-1=k2(x-2),設(shè)點B(x1,y1),C(x2,y2),聯(lián)立橢圓方程求得交點B,C的坐標,運用直線的斜率公式,計算直線OB,OC的斜率相等,即可得證.

解答 解:(1)由點A(2,1)是橢圓G:x2+4y2=m上的點.
可得22+4•12=m,即有m=8,
即橢圓G:x28+y22=1,
可得a2=8,b2=2,可得伴隨圓G1的方程為x2+y2=10,
當直線l的斜率不存在時,顯然不滿足l與橢圓G有且只有一個公共點;
當直線l的斜率存在時,設(shè)直線ly=kx+10,
與橢圓G:x2+4y2=8聯(lián)立,得1+4k2x2+810kx+32=0
由直線l與橢圓G有且只有一個公共點,得△=810k241+4k232=0,
解得k=±1,由對稱性取直線ly=x+10,即lxy+10=0
圓心到直線l的距離為d=|0+0+10|1+1=5,
直線l被橢圓G的伴隨圓G1所截得的弦長=2105=25
(2)證明:設(shè)直線AB,AC的方程分別為y-1=k1(x-2),y-1=k2(x-2),
設(shè)點B(x1,y1),C(x2,y2),
聯(lián)立G:x2+4y2=8,得1+4k12x216k128k1x+16k1216k14=0,
則2x1=16k1216k141+4k12,得x1=8k128k121+4k12;
同理x2=8k228k221+4k22
斜率kOB=y1x1=k1x12+1x1=4k124k1+18k128k12,
同理kOC=4k224k2+18k228k22
因為4k1•k2=-1,所以kOC=414k12414k1+1814k12814k12=4k124k1+18k128k12=kOB,
即有B,O,C三點共線.

點評 本題考查新定義的理解和運用,橢圓和伴橢圓方程的求法,注意運用點滿足橢圓方程,考查直線和圓相交的弦長公式,同時考查三點共線的條件:斜率相等,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知數(shù)列{an}是首項為a1=14,公比q=14的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3log14an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn.(Ⅰ)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
(Ⅱ)若cn14m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知直線l:\left\{\begin{array}{l}{x=1+cos60°t}\\{y=sin60°t}\end{array}\right.(t為參數(shù)),曲線C:\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù)).
(1)分別將直線l和曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;
(2)求與直線l平行且與曲線C相切的直線l1的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.(理)籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,則他罰球3次的得分ξ的均值為2.1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知a、b、c都是正數(shù),求證ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.設(shè)a,b,c是正實數(shù),且a2+b2+c2+abc=4,證明:a+b+c≤3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的離心率為\frac{{\sqrt{6}}}{3},若動點A在橢圓C上,動點B在直線y=\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}上.(c為橢圓的半焦距)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若OA⊥OB(O為坐標原點),試探究點O到直線AB的距離是否為定值;若是定值,求出該定值;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.(Ⅰ)用分析法證明:\sqrt{8}+\sqrt{7}\sqrt{5}+\sqrt{10}
(Ⅱ)設(shè)a,b,c均為正實數(shù),且ab+bc+ca=1.求證:a+b+c≥\sqrt{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知a,b,c為正實數(shù),求證:(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案