已知函數(shù)為奇函數(shù).

(1)求常數(shù)的值;

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;

(3)函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象先向右平移2個單位,再向上平移2個單位得到,寫出的一個對稱中心,若,求的值.

 

【答案】

(1);(2)減函數(shù),證明見解析;(3)對稱中心,

【解析】

試題分析:(1)本題唯一的條件是為奇函數(shù),故其定義域關(guān)于原點對稱,通過求函數(shù)的定義域可求得,當然這時還要根據(jù)奇函數(shù)的定義驗證確實是奇函數(shù);(2)要判斷函數(shù)的單調(diào)性,可根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)確定,然后再根據(jù)定義證明,而函數(shù)為奇函數(shù),故只要判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可,變形可得是遞減,當然它在上也是遞減的,然后用單調(diào)性定義田加以證明;(3)為奇函數(shù),它的對稱中心為,的圖象是由的圖象平移過去的,因此對稱中心也相應平移,即對稱中心為,函數(shù)的圖象對稱中心為,則有性質(zhì):,因此本題是有,即.

試題解析:(1)因為函數(shù)為奇函數(shù),所以定義域關(guān)于原點對稱,由,得

,所以.                        2分

這時滿足,函數(shù)為奇函數(shù),因此        4分

(2)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).

法一:用單調(diào)性定義證明;

法二:利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說明.

上單調(diào)遞增,因此單調(diào)遞增,又上單調(diào)遞減,因此函數(shù)上單調(diào)遞減;

法三:函數(shù)定義域為,說明函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為函數(shù)為奇函數(shù),因此函數(shù)在上也是單調(diào)遞減,因此函數(shù)上單調(diào)遞減.

10分

(本題根據(jù)具體情況對照給分)

(3)因為函數(shù)為奇函數(shù),因此其圖像關(guān)于坐標原點(0,0)對稱,根據(jù)條件得到函數(shù)的一個對稱中心為,                               13分

因此有,因為,因此 16分

考點:(1)奇函數(shù)的性質(zhì);(2)函數(shù)的單調(diào)性;(3)函數(shù)圖象的平移,函數(shù)圖象的對稱性.

 

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(本小題滿分12分)
已知函數(shù)為奇函數(shù),為偶函數(shù),且 .
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若存在,則稱是函數(shù)的一個不動點,求函數(shù)的不動點

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