Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）令c_n=+，證明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴，
∴當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=．
當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，
因此．
（2）由（1）可得：=．
∴T_n=，
，
兩式相減得=1+=3
∴．
（3）證明：由c_n==+＞2=2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
又c_n=+=2+-，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+[（-）+（-）+…+（-）]=2n+-＜2n+．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+成立．
分析：（1）利用即可求出a_n；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出；
（3）利用基本不等式的性質(zhì)和“裂項(xiàng)求和”即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握公式、“錯(cuò)位相減法”、基本不等式的性質(zhì)和“裂項(xiàng)求和”是解題的關(guān)鍵．