Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，點P（x，y）是雙曲線右支上的一個動點，且|PF₁|的最小值為8，

PF1

與

PF2

的數(shù)量積

PF1

•

PF2

的最小值是-16．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點C（9，16）能否作直線l與雙曲線交于A、B兩點，使C為線段AB的中點．若能，求出直線l的方程；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1））由|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，得a+c=8①，消掉y可得

PF1

•

PF2

的最小值，令其為-16②，結合a²+b²=c²可得a，b；
（2）平方差法：假設存在這樣的直線滿足題條件，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入雙曲線方程并作差，可得直線AB的斜率k，從而可得直線l的方程，然后聯(lián)立直線與雙曲線的方程消掉y可得△＞0，從而得到結論；

解答：解：（1）∵|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，當且僅當x=a時，等號取得，
∴|PA|的最小值為c+a，∴c+a=8①，
∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)，
由

x2

a2

-

y2

b2

=1知y2=b2(

x2

a2

-1)，
∴

PF1

•

PF 2

=x2-c2+y2=x2-c2+b2(

x2

a2

-1)=(1+

b2

a2

)x2-c2-b2≥(1+

b2

a2

)a2-c2-b2=-b2，
∴當且僅當x=a時，等號取得，
∴

PF1

•

PF 2

的最小值為-b²，∴b²=16，即b=4②，
又∵c²=a²+b²③
∴由①②③得a=3，b=4，c=5
∴所求雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）假設存在這樣的直線滿足題條件，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有16x12-9y12=144④，16x22-9y22=144⑤，
④-⑤得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）-9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
則k=

y1-y2

x1-x2

=

16(x1+x2)

9(y1+y2)

=

16×9

9×16

=1，
∴直線l的方程為y-x=7，
將直線l：y-x=7與雙曲線16x²-9y²=144組成方程組消去y，得7x²-126x-585=0，其根的判別式△＞0，
∴這樣的直線l存在，方程為x-y+7=0；

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線的方程和性質，涉及弦中點問題往往運用平方差法．