Question

（2012•江門(mén)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)l的方程，并證明函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線(xiàn)l的下方；
（2）討論函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）已知f（x）=lnx-ax+1，對(duì)你進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系，求出切線(xiàn)的方程；
（2）令y=0，進(jìn)行變形lnx=ax-1，利用數(shù)形結(jié)合的方法，進(jìn)行分類(lèi)討論，討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；

解答：解：（1）f（1）=-a+1，
k₁=f′（1）=1-a，所以切線(xiàn)l的方程為
y-f（1）=k₁×（x-1），即y=（1-a）x
作F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，則

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F′（x）=

1

x

-1=

1

x

（1-x），解F′（x）=0得x=1．
所以任意x＞0且x≠1，F(xiàn)（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線(xiàn)l的下方．
（2）令y=0，即lnx=ax-1，畫(huà)圖可知
當(dāng)a≤0時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與y=lnx的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)y=ax-1與y=lnx切于點(diǎn)（x₀，lnx₀），切線(xiàn)斜率為k=

1

x0

∴切線(xiàn)方程為y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），把（0，-1）代入上式可得x₀=1，k=1
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與y=lnx有兩個(gè)交點(diǎn)，即兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)直線(xiàn)y=ax-1與y=lnx相切于一點(diǎn)，即一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞1時(shí)直線(xiàn)y=ax-1與y=lnx沒(méi)有交點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題；