將所有平面向量組成的集合記作R2,f是從R2到R2的映射,記作
y
=f(
x
)
或(y1,y2)=f(x1,x2),其中x1,x2,y1,y2都是實(shí)數(shù).定義映射f的模為:在|
x
|=1的條件下|
y
|的最大值,記做||f||.若存在非零向量
x
R2,及實(shí)數(shù)λ使得f(
x
)=λ
x
,則稱(chēng)λ為f的一個(gè)特征值.
(1)若f(x1,x2)=(
1
2
x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),計(jì)算f的特征值,并求相應(yīng)的
x
;
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足什么條件?試找出一個(gè)映射f,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件.
(1)由于此時(shí)y12+y22=
1
4
x12+x22,
又因?yàn)槭窃?span dealflag="1" mathtag="math" >x12+x22=1的條件下,有y12+y22=
1
4
x12+x22=
1
4
+
3
4
x22
≤1(x2=±1時(shí)取最大值),
所以此時(shí)有||f||=1;…(4分)
(2)由f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2)=λ(x1,x2),可得:
x1+x2x1
x1-x2x2
,
解此方程組可得:(λ-1)(λ+1)=1,從而λ=±
2

當(dāng)λ=
2
時(shí),解方程組
x1+x2=
2
x1
x1-x2=
2
x2
,此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程,
所以此時(shí)方程有無(wú)窮多個(gè)解,為
x
=m(
2
+1,1)
(寫(xiě)出一個(gè)即可),其中m∈R且m≠0.
當(dāng)λ=-
2
時(shí),同理可得,相應(yīng)的
x
=m(1-
2
,1)
(寫(xiě)出一個(gè)即可),其中m∈R且m≠0.…(9分)
(3)解方程組
a1x1+a2x2x1
b1x1+b2x2x2
,可得x1(a1-λ,b1)+x2(a2,-b1-λ)=0
從而向量(a1-λ,b1)與(a2,-b1-λ)平行,
從而有a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足:(a1-b2)2+4a2b1=0
當(dāng)f(
λ
)=λ
x
時(shí),f有唯一的特征值,且||f||=|λ|.具體證明為:
由f的定義可知:f(x1,x2)=λ(x1,x2),所以λ為特征值.
此時(shí)a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ滿足:(a1-b2)2+4a2b1=0,所以有唯一的特征值.
x12+x22=1的條件下x1)2+(λx2)22,從而有||f||=|λ|.…(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

將所有平面向量組成的集合記作R2,f是從R2到R2的映射,記作
y
=f(
x
)
或(y1,y2)=f(x1,x2),其中x1,x2,y1,y2都是實(shí)數(shù).定義映射f的模為:在|
x
|=1的條件下|
y
|的最大值,記做||f||.若存在非零向量
x
R2,及實(shí)數(shù)λ使得f(
x
)=λ
x
,則稱(chēng)λ為f的一個(gè)特征值.
(1)若f(x1,x2)=(
1
2
x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),計(jì)算f的特征值,并求相應(yīng)的
x
;
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足什么條件?試找出一個(gè)映射f,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

將所有平面向量組成的集合記作R2,f是從R2到R2的映射,記作數(shù)學(xué)公式或(y1,y2)=f(x1,x2),其中x1,x2,y1,y2都是實(shí)數(shù).定義映射f的模為:在|數(shù)學(xué)公式|=1的條件下|數(shù)學(xué)公式|的最大值,記做||f||.若存在非零向量數(shù)學(xué)公式R2,及實(shí)數(shù)λ使得f(數(shù)學(xué)公式)=數(shù)學(xué)公式,則稱(chēng)λ為f的一個(gè)特征值.
(1)若f(x1,x2)=(數(shù)學(xué)公式x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),計(jì)算f的特征值,并求相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式;
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足什么條件?試找出一個(gè)映射f,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件.

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(1)若f(x1,x2)=(x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),計(jì)算f的特征值,并求相應(yīng)的;
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足什么條件?試找出一個(gè)映射f,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件.

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(1)若f(x1,x2)=(x1,x2),求||f||;
(2)如果f(x1,x2)=(x1+x2,x1-x2),計(jì)算f的特征值,并求相應(yīng)的
(3)若f(x1,x2)=(a1x1+a2x2,b1x1+b2x2),要使f有唯一的特征值,實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2應(yīng)滿足什么條件?試找出一個(gè)映射f,滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一的特征值λ,②||f||=|λ|,并驗(yàn)證f滿足這兩個(gè)條件.

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