Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD=

3

，由此能證明PA⊥BD．
（2）作AM垂直于PB于M點(diǎn)，連DM，則AD⊥平面PBD從而∠AMD為二面角A-PB-D的平面角，由此能求出其正切值．

解答： （1）證明：因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD=

3

AD=

3

，…（2分）
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，…（3分）
∵PD⊥面ABCD，BD?面ABCD，∴PD⊥BD…（4分）
又AD∩PD=D，
所以BD⊥平面PAD…（5分）
故PA⊥BD．…（6分）
（2）解：作AM垂直于PB于M點(diǎn)，連DM，
由已知得AD⊥平面PBD
所以AD⊥BD，又AM⊥BD
BD⊥平面ADM所以BD⊥DM
所以∠AMD為二面角A-PB-D的平面角，
AD=1，DM=

3

2

，
tan∠AMD=

AD

DM

=

2

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．