已知雙曲線,F為其右焦點(diǎn)，A（4，1）為平面上一點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值（如下圖）.

解析：題中出現(xiàn)了明顯的雙曲線第二定義特征——雙曲線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)，可利用第二定義，將P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

解：由雙曲線的第二定義可知，其中d為P到右準(zhǔn)線l：x=的距離，e=.

∴|PF|=ed=.

∴|PA|+|PF|=|PA|+·.

∴|PA|+|PF|=|PA|+d,則求|PA|+|PF|的最小值問題轉(zhuǎn)化為：在雙曲線上求一點(diǎn)P，使P到A的距離與到右準(zhǔn)線l：x=的距離之和最小，如上圖所示，由平面幾何的知識知道，從直線外一點(diǎn)向該直線所引的線段中，垂線段最短，從而過點(diǎn)A向右準(zhǔn)線l：x=作垂線AB，交雙曲線于P點(diǎn)，此時|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值為垂線段AB的長，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值為.

點(diǎn)評：這道題利用雙曲線的第二定義把點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離問題，這種利用定義的轉(zhuǎn)化的解題方法經(jīng)常用到.本題還利用了數(shù)形結(jié)合思想，充分利用了平面幾何的結(jié)論解決問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
9
-
y2
16
=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，A1，A2是實(shí)軸的兩端點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P，A2P與直線x=a分別交于兩點(diǎn)M，N，若
FM
•
FN
=0，則a的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線-=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，A(4,1)為平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，求|PA|+|PF|的最小值（如圖）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年山東省威海市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，A1，A2是實(shí)軸的兩端點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P，A2P與直線x=a分別交于兩點(diǎn)M，N，若，則a的值為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：專項(xiàng)題 題型：單選題

已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則的值為
[     ]
A．
B．
C．
D．

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