Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項公式，并求數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項和T_n；
（2）設(shè)bn=2an+1，證明：

n

2

-

1

7

＜

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，兩式相減得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，再寫一式，相減整理可得a_n+1+a_n-1=2a_n，從而數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可求數(shù)列的通項．
（2）先確定

1

2

-

1

7

•

1

2k

≤   

bk-1

bk+1-1

＜

1

2

，再求和即可證明．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，2a₁=1+a₁，∴a₁=1
當(dāng)n≥2時，2S_n=n+na_n，2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1，相減得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1，∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n，相減得（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=2（n-1）a_n，即當(dāng)n≥2時，a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₂=3，a₁=1，∴a₂=2，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴a_n=n
∴T_n=1+2•2+3•2²++n•2^n-1，2T_n=2+2•2²++n•2ⁿ，相減整理得T_n=（n-1）•2ⁿ+1
（2）b_n=2ⁿ+1，∴

bk-1

bk+1-1

＜

1

2

，k=1，2，n，∴

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

bk-1

bk+1-1

=

1

2

-

1

7•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

7

•

1

2k

，k=1，2，n
∴

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＞

n

2

-

1

7

．
∴

n

2

-

1

7

＜

b1-1

b2-1

+

b2-1

b3-1

+…+

bn-1

bn+1-1

＜

n

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與前n項和共存時處理的方法，考查錯位相減法求數(shù)列的和，同時考查了放縮法證明不等式，有一定的難度．