已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+).
(1)證明:{log2(an+1)}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列{bn}滿足bn=
an+1
an+1
,求證:bn=
an+1-an
anan+1
考點:數(shù)列的求和,等比關系的確定
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2,得log2(an+1+1)=2log2(an+1),由此能證明{log2(an+1)}是等比數(shù)列,從而能求出an=22n-1-1.
(2)由已知得
an+1-an
anan+1
=
an2+an
anan+1
=
an+1
an+1
,結合bn=
an+1
an+1
,綜合可得答案.
解答: (1)證明:∵an+1=an2+2an,
∴an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2,
∴l(xiāng)og2(an+1+1)=2log2(an+1),
log2(an+1+1)
log2(an+1)
=2,
∴{log2(an+1)}是等比數(shù)列,
∵log2(a1+1)=log22=1,
log2(an+1)=2n-1,
∴an=22n-1-1.
(2)證明:
an+1-an
anan+1
=
an2+an
anan+1
=
an+1
an+1
;
而bn=
an+1
an+1

故bn=
an+1-an
anan+1
點評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的通項公式的求法,是中檔題,解題時要注意構造法的合理運用.
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A、
4
3
(210-1)
B、
4
3
(210+1)
C、
4
3
(2-10-1)
D、
4
3
(2-10+1)

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y≤2
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A、[2,8]
B、[4,13]
C、[2,13]
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5
2
,13]

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(1)求k的值;
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