Question

10．已知集合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$}，B={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，x∈R}，C={x|mx＜-1}，
（1）求∁_R（A∩B）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使得（A∩B）⊆C成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)集合A、B，再根據(jù)交集與補(bǔ)集的定義寫出對(duì)應(yīng)的結(jié)果；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得（A∩B）⊆C成立，討論m=0、m＞0和m＜0時(shí)，
求出集合C，判斷是否滿足條件即可．

解答 解：（1）因?yàn)榧�合A={x|y=$\frac{1}{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$}={x|-x²+x+2＞0}={x|-1＜x＜2}，
B={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，x∈R}={y|y∈R}=R，
所以A∩B={x|-1＜x＜2}，
所以∁_R（A∩B）={x|x≤-1或x≥2}；
（2）因?yàn)锳∩B=（-1，2），
C={x|mx＜-1}，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得（A∩B）⊆C成立，
①當(dāng)m=0時(shí)，C=∅，不符合；
②當(dāng)m＞0時(shí)，C={x|＜-$\frac{1}{m}$}，
于是$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}≥2}\\{m＞0}\end{array}\right.$，無解，不符合；
③當(dāng)m＜0時(shí)，C={x|x＞-$\frac{1}{m}$}，
于是$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}≤-1}\\{m＜0}\end{array}\right.$，無解，不符合；
綜上所述，不存在這樣的實(shí)數(shù)m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．