在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),△AOB的內(nèi)切圓為⊙M.
(1)如果⊙M半徑為1,l與⊙M切于點(diǎn)數(shù)學(xué)公式,求直線l的方程;
(2)如果⊙M半徑為1,證明當(dāng)△AOB的面積、周長(zhǎng)最小時(shí),此時(shí)△AOB為同一三角形;
(3)如果l的方程為數(shù)學(xué)公式,P為⊙M上任一點(diǎn),求PA2+PB2+PO2的最值.

解:(1),(1分),
(2)設(shè)A(a,0),B(0,b),(a>2,b>2),
l:bx+ay-ab=0.,
(a-2)(b-2)=2,ab-2(a+b)+2=0,,(6分)
.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),
面積,
此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形.
周長(zhǎng)
此時(shí)△AOB為直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形.
∴此時(shí)的△AOB為同一三角形.

(3)l的方程為,得,
⊙M:(x-1)2+(y-1)2=1,設(shè)P(m,n)為圓上任一點(diǎn),
則:(m-1)2+(n-1)2=1,m2+n2=2(m+n)-1,=
當(dāng)時(shí),
此時(shí),
當(dāng)時(shí),
此時(shí),
分析:(1)先求得圓心與切點(diǎn)連線的斜率再由兩者互為負(fù)倒數(shù)求得.進(jìn)而求得直線l的方程;
(2)設(shè)A(a,0),B(0,b),(a>2,b>2),直線AB的方程為::bx+ay-ab=0.圓心到該直線的距離為,整理得(a-2)(b-2)=2,有ab-2(a+b)+2=0,再由基本不等式得
.三角形面積,周長(zhǎng).取得最值的條件一致.所以△AOB為同一三角形.
(3)l的方程為,解得,P(m,n)為圓上任一點(diǎn),=
又因?yàn)椋╩-1)2+(n-1)2=1,m2+n2=2(m+n)-1,,所以代入上式求解即可.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用,還考查了用解析法研究三角形面積,周長(zhǎng)及線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題,
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2)和點(diǎn)Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問(wèn):是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個(gè)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說(shuō)明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1,F(xiàn)2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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