Question

14．過拋物線y²=4x的焦點F作傾斜角為45°的弦AB，則AB的弦長為8．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式確定出焦點F坐標，根據(jù)直線AB傾斜角表示出直線AB方程，與拋物線解析式聯(lián)立消去y得到關于x的一元二次方程，設方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)關系及根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為：x₁+x₂+p，問退得以解決．

解答 解：由題意得：拋物線y²=4x的焦點F為（1，0），
∵直線AB傾斜角為45°，
∴直線AB的斜率為1，即方程為y=x-1，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，
根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為：x₁+x₂+p=6+2=8
故答案為：8．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系．在涉及焦點弦的問題時常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理設而不求，進而利用拋物線的定義求得問題的答案．