【題目】正五邊形的對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線與對角線交于點(diǎn). 設(shè)由圖2中的10個(gè)點(diǎn)、、、、、、、、、和線段構(gòu)成的等腰三角形的集合為.

（1）求中元素的數(shù)目；

（2）若將這10個(gè)點(diǎn)中的每個(gè)點(diǎn)任意染為紅、藍(lán)兩種顏色之一，問是否一定存在中的一個(gè)等腰三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色？

（3）若將這10個(gè)點(diǎn)中的任意個(gè)點(diǎn)染為紅色，使得一定存在中的一個(gè)等腰三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色，求的最小值.

【答案】(1)35;(2)見解析；（3）6.

【解析】

（1）因?yàn)橛蓤D2中的10個(gè)點(diǎn)、、、、、、、、、和線段構(gòu)成的三角形均為等腰三角形，所以，.

（2）由抽屜原則，知、、、、中一定有三個(gè)點(diǎn)同色，且這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形屬于，故一定存在中的等腰三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色.

（3）若，則將、、、、染為紅色，于是，不存在屬于的頂點(diǎn)同為紅色的三角形.

若，當(dāng)、、、、中有不少于三個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，一定存在屬于且頂點(diǎn)同為紅色的三角形；當(dāng)、、、、中不少于三個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，、、、、中至少有四個(gè)紅點(diǎn).

若、、、、中恰有四個(gè)紅點(diǎn)，不妨假設(shè)、、、為紅點(diǎn)，則、、、、中至少有兩個(gè)紅點(diǎn)，不妨假設(shè)的紅點(diǎn)，則是屬于且頂點(diǎn)同為紅色的三角形；否則，、同為紅色，于是，是屬于且頂點(diǎn)間同為紅色的三角形.

因此，的最小值為6.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則稱這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)．質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的．設(shè)由所有質(zhì)數(shù)組成的無窮遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列1，3，5，7，…中所有不大于的項(xiàng)的和為．

（Ⅰ）求和；

(Ⅱ)判斷和的大小，不用證明；

（Ⅲ）設(shè)，求證：，，使得．

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【題目】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)是拋物線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，求證：為定值.

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【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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【題目】已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（ ）

A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是

B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)，使得成立

D.對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知從地到地有兩條道路可以到達(dá)，走道路①準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率為，不準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率為；走道路②準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率為，不準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率為.若甲乙兩車走道路①，丙車由于其他原因走道路②，且三輛車是否準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)相互之間沒有影響.

（1）若三輛車中恰有一輛車沒有準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率為，求走道路②準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率；

（2）在（1）的條件下，求三輛車中準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)車輛的輛數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn).在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：

如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中，那么可以表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）

A.

B.

C.

D.

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【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則關(guān)于的圖象，下列結(jié)論不正確的是

A. 周期為 B. 關(guān)于點(diǎn)對稱

C. 在單調(diào)遞增 D. 在單調(diào)遞減

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【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，在高三年級中隨機(jī)選取名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于小時(shí)的有人，在這人中分?jǐn)?shù)不足分的有人；在每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不足于小時(shí)的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足分的占.

（1）請完成列聯(lián)表；并判斷是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；

分?jǐn)?shù)不少于分

分?jǐn)?shù)不足分

合計(jì)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足小時(shí)

合計(jì)

（2）在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不足于分的學(xué)生中，按照分層抽樣的方法，抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足小時(shí)的學(xué)生共名，若在這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求這人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間都不足小時(shí)的概率.（臨界值表僅供參考）

（參考公式，其中）

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