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6.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的焦距為4,且點(-2,2)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點B為橢圓的下頂點,直線l與橢圓C交于不同的兩點P,Q(異于點B),直線BQ與BP的斜率之和為2,試問直線l是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過定點,請給出證明,并求出該定點;若不經(jīng)過定點,說明理由.

分析 (1)由橢圓的焦距為4,且點(-2,2)在橢圓C上,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(2)B(0,-2),當直線l的斜率不存在時,推導出直線l為x=2,當直線l的斜率k存在時,設直線l的方程為y=kx+m,聯(lián)立{y=kx+mx28+y24=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,由此利用韋達定理、直線斜率公式,結(jié)合已知條件能求出直線l經(jīng)過定點(2,2).

解答 解:(1)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的焦距為4,且點(-2,2)在橢圓C上,
{2c=44a2+22=1a2=2+c2,解得a2=8,b2=4,
∴橢圓C的方程為x28+y24=1
(2)∵點B為橢圓x28+y24=1的下頂點,∴B(0,-2),
當直線l的斜率不存在時,設直線l:x=x0,(-22x022,x0≠0),
則P(x0,y0),Q(x0,-y0),
∵直線BQ與BP的斜率之和為2,
y0+2x0+y0+2x0=2,解得x0=2,∴直線l為x=2,過定點(2,2).
當直線l的斜率k存在時,設直線l的方程為y=kx+m,
聯(lián)立{y=kx+mx28+y24=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4km1+2k2,x1x2=2m281+2k2,
∵直線BQ與BP的斜率之和為2,
∴kBQ+kBP=y2+2x2+y1+2x1=kx2+m+2x2+kx1+m+2x1
=2k+m+2x1+x2x1x2=2k+m+2×4km1+2k22m281+2k2
=2k-2kmm2=4k2m=2,
∴m=2-2k,
∴y=kx+m=kx+2-2k=k(x-2)+2,
∴直線y=kx+m過定點(2,2).
綜上,直線l經(jīng)過定點(2,2).

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查直線是否過定點的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)、直線斜率公式、韋達定理的合理運用.

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