設a、b為平面向量,若存在不全為零的實數(shù)λ,μ使得λa+μb=0,則稱a、b線性相關,下面的命題中,a、b、c均為已知平面M上的向量.
①若a=2b,則a、b線性相關;
②若a、b為非零向量,且a⊥b,則a、b線性相關;
③若a、b線性相關,b、c線性相關,則a、c線性相關;
④向量a、b線性相關的充要條件是a、b共線.
上述命題中正確的是________(寫出所有正確命題的編號)
①④
分析:利用
和
線性相關 等價于
和
是共線向量,故①正確,②不正確,④正確.通過舉反例可得③不正確.
解答:若
、
線性相關,假設λ≠0,則
=-
,故
和
是共線向量.
反之,若
和
是共線向量,則
=-
,即λ
+μ
=0,故
和
線性相關.
故
和
線性相關 等價于
和
是共線向量.
①若
=2
,則
-2
=0,故
和
線性相關,故①正確.
②若
和
為非零向量,
⊥
,則
和
不是共線向量,不能推出
和
線性相關,故②不正確.
③若
和
線性相關,則
和
線性相關,不能推出若
和
線性相關,例如當
=
時,
和
可以是任意的兩個向量.故③不正確.
④向量
和
線性相關的充要條件是
和
是共線向量,故④正確.
故答案為 ①④.
點評:本題考查兩個向量線性相關的定義,兩個向量共線的定義,明確
和
線性相關 等價于
和
是共線向量,是解題的關鍵.